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H ∩ P τ ∈V F¨ ur wenigstens einen Vertreter τ ∈ V ist daher der Index [H : H ∩ P τ )] = 0 mod p. Andererseits ist H ∩ P τ als Untergruppe der p-Gruppe P τ eine p–Gruppe. Beide Aussagen zusammen zeigen, dass H ∩ P τ eine p–Sylowgruppe von H ist. 6 (Sylows¨atze). 1. Jede endliche Gruppe G besitzt eine p–Sylowgruppe. Jede p–Untergruppe von G ist in einer geeigneten p–Sylowgruppe enthalten. 59 2. Je zwei p–Sylowgruppen von G sind konjugiert. 3. Sei np die Zahl der p-Sylowgruppen von G, np := |Sylp (G)|.

34 1. 5 folgt, dass die Ordnung von m ∈ Z× n ein Teiler der Gruppenordnung ϕ(n) ist. 2. 4 jede von Null verschiedene Restklasse ein Erzeuger von Zp , also ϕ(p) = p − 1. Also ist wegen (i) mp−1 = 1 mod p f¨ ur m teilerfremd mit p. ur m = 0 gilt. Daraus folgt mp = m mod p, was auch noch f¨ 3. Die Ordnung der Untergruppe U ∩V muss sowohl die Ordnung von U als auch die Ordnung von V teilen. Aus der Teilerfremdheit von |U | und |V | folgt, dass |U ∩ V | = 1. 10 (RSA-Verschl¨ usselung). • Als Konsequenz aus dem Satz von Euler halten wir zun¨achst fest: seien n ∈ N und r ∈ (Zn )× gegeben.

Dann definiert die Operation von G auf X eine Bijektion von Mengen zwischen den Nebenklassen des Stabilisators eines Elements x ∈ X und dem Orbit von x: G/Gx ∼ = Gx. Beweis. Wir definieren eine Abbildung von Mengen ∼ G/Gx → Gx gGx → g ∙ x Da die Abbildung auf Nebenklassen definiert sein soll, m u ¨ssen wir zun¨achst zeigen, dass sie wohldefiniert ist. Sei also h ∈ Gx . Dann sind g und gh in derselben Nebenklasse. Das Axiom (O1) f¨ ur eine Operation liefert (gh)x = g(h ∙ x) = gx , also ist die Abbildung wohldefiniert.

### Algebra [Lecture notes] by Christoph Schweigert

by John
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